Matemática A · year 12 · Cálculo diferencial

Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações

30 exercises from national exams, newest first.

Exercise 2.3

1st phase 2026Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise 2.3 — 2.3. Mostre que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função f , de abcissa pertencente ao intervalo ,1 0 - 6 @ , cuja ordenada é simétrica da abcissa.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2026

Exercise 9

1st phase 2026Open answer

Exercise 9 — 9. Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 9.(AE2018) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas em 2018. O item 9.(AE2023) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2026

Exercise 7

2nd phase 2026Open answer

Exercise 7 — 7. Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 7.(AE2018) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas em 2018. O item 7.(AE2023) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2026

Exercise 11

Special sitting 2026Open answer

Exercise 11 — 11. Os dois itens que se apresentam a seguir são itens em alternativa. O item 11.(AE2018) integra-se nas Aprendizagens Essenciais homologadas em 2018. O item 11.(AE2023) integra-se nas Aprendizagens Essenciais…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2026

Exercise 12.2

1st phase 2025Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise 12.2 — 12.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta de equação y = 3x + 4 em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo ,0 16 @ .

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2025

Stuck on Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Our tutors clear up your doubts one to one — online, or in person with a local tutor.

Ask a tutor Lessons in Matemática A→

Exercise 14

2nd phase 2025Open answer

Exercise 14 — 14. Seja a um número real positivo, e seja h uma função contínua de domínio [0, a] e contradomínio [0, a] . Prove que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função h que pertence à bissetriz do primeiro quadrante.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2025

Exercise 8

1st phase 2024Open answer

Exercise 8 — 8. Seja f uma função de domínio R . Sabe-se que: • para qualquer número real a , a ≠ 2 , lim f x f a x a = " ] ] g g ; • lim f x f 2 x 2 " ] ^ g h , com f 2 0 2 ^ h , e lim f x x 2 3 " ] g ; • f f 3 0 # 1 1 ^ ^ h h .…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2024

Exercise 8

Special sitting 2024Open answer

Exercise 8 — 8. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Seja a um número real maior do que 1 , e seja f a função, de domínio R , definida por f x ax x 2 3 ] g . Mostre que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo ,0 16…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2024

Exercise 12.2

1st phase 2023Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise 12.2 — 12.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta r em, pelo menos, um ponto de…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2023

Exercise 9.2

Special sitting 2023Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise 9.2 — 9.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de g cuja ordenada é igual à…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2023

Stuck on Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Our tutors clear up your doubts one to one — online, or in person with a local tutor.

Ask a tutor Lessons in Matemática A→

Exercise 11

1st phase 2021Open answer

Exercise 11 — 11. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Seja g a função, de domínio , 2 2 3 r r ; E, definida por cos sen g x x x x ^ h Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2021

Exercise 10.2

2nd phase 2020Open answer

Show the shared statement

Exercise 10.2 — 10.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que a equação f x g x = ^ ^ h h tem, pelo menos, uma solução no intervalo ,0 3 r : D

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2020

Exercise 10.3

Special sitting 2020Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise 10.3 — 10.3. Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo , e e6 @

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2020

Exercise 14

1st phase 2018Open answer

Exercise 14 — 14. Na Figura 5, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função h, de domínio + R , definida por ln h x x x = ^ h Para cada número real a pertencente ao intervalo , 2 1 1 < F, sejam P e Q os…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2018

Exercise Part II · 6

2nd phase 2016Open answer

Exercise Part II · 6 — 6. Seja g uma função contínua, de domínio R , tal que: • para todo o número real x, x g g x = % ^ ^ h h • para um certo número real a, tem-se g a a 1 2 + ^ h Mostre que a equação g x x 1 = + ^ h é possível no intervalo…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2016

Stuck on Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Our tutors clear up your doubts one to one — online, or in person with a local tutor.

Ask a tutor Lessons in Matemática A→

Exercise Part II · 6

Special sitting 2016Open answer

Exercise Part II · 6 — 6. Seja k um número real positivo. Considere a função g, de domínio ,k 3 − + 6 @ , definida por ln g x x k = + ^ ^ h h Mostre que: se então , , g g k k 0 0 2 1 1 # 1 ! ^ ^ h h ; E Na resolução deste item, não utilize a…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2016

Exercise Part II · 4.3

1st phase 2015Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 4.3 — 4.3. Mostre que a equação f x 3 = ^ h é possível em , e 1 6 @ e, utilizando a calculadora gráfica, determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas. Na sua resposta: • recorra ao…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2015

Exercise Part II · 2.2

2nd phase 2015Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 2.2 — 2.2. Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto P ao ponto O foi igual a…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2015

Exercise Part I · 4

1st phase 2014Multiple choice

Exercise Part I · 4 — 4. Considere, para um certo número real k, a função f , de domínio R, definida por f x k e x x = + ^ h O teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo 0,16 @ A qual dos intervalos…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2014

Exercise Part II · 7

1st phase 2013Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 7 — 7. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f , contínua, de domínio ,a a - 6 @ Sabe-se que f a f a − = ^ ^ h h e f a f 0 > ^ ^ h h Mostre que a condição f x f x a = + ^ ^ h h tem, pelo menos, uma…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2013

Stuck on Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Our tutors clear up your doubts one to one — online, or in person with a local tutor.

Ask a tutor Lessons in Matemática A→

Exercise Part I · 4

2nd phase 2013Multiple choice

Show the shared statement

Shared statement

Exercise Part I · 4 — 4. Seja f uma função de domínio ,e 1 − 6 @ Sabe-se que: • f é contínua no seu domínio; • f (–e) = 1 • f (1) = e Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A equação f x 1 0 −= ^ h tem pelo menos uma…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2013

Exercise Part II · 7.2

Special sitting 2013Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 7.2 — 7.2. Mostre, sem resolver a equação, que f x 2 = ^ h tem, pelo menos, uma solução em , 6 4 r r ; E

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2013

Exercise Part I · 4

1st phase 2012Multiple choice

Show the shared statement

Shared statement

Exercise Part I · 4 — 4. Seja f uma função de domínio R, 3 f x e definida por = − x ^ h Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação f x x 2 3 = −− ^ h tem, pelo menos, uma solução? (A) , 0 5 1 : D (B)…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2012

Exercise Part II · 6.2

2nd phase 2012Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 6.2 — 6.2. Mostre que existe um valor de x compreendido entre 12 5 e r r para o qual a área da região sombreada é 5 Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2012

Exercise Part II · 4.1

Special sitting 2012Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 4.1 — 4.1. Mostre que, durante os primeiros 15 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro. Se utilizar a calculadora em…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2012

Stuck on Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Our tutors clear up your doubts one to one — online, or in person with a local tutor.

Ask a tutor Lessons in Matemática A→

Exercise Part I · 4

1st phase 2011Multiple choice

Show the shared statement

Shared statement

$Exercise Part I · 4 — 4. Seja f uma função de domínio ,0 3 + 7 7, definida por x x x e x 2 9 0 5 1 5 se se x x 1 # $ − − f = ^ h Z [ \ ]] ]] Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos,…$

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2011

Exercise Part II · 5.2

2nd phase 2011Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Shared statement

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2011

Exercise Part II · 5.2

Special sitting 2011Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 5.2 — 5.2. Seja f l a primeira derivada de f Mostre, sem resolver a equação, que f x 4 1 = l_ i tem, pelo menos, uma solução em ,0 17 A Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2011

Exercise Part II · 4.2

2nd phase 2010Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Shared statement

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2010

Exercise Part II · 5.1

2nd phase 2010Open answer

Show the shared statement

Shared statement

Shared statement

Exercise Part II · 5.1 — 5.1. Mostre que tem, pelo menos, uma solução em Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. ,   −2 −1     ( ) , f x = 1 5

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2010

Stuck on Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Our tutors clear up your doubts one to one — online, or in person with a local tutor.

Ask a tutor Lessons in Matemática A→