Matemática A · year 12 · Funções exponenciais e logarítmicas

Logaritmos e função logarítmica (equações e inequações)

65 exercises from national exams, newest first.

Exercise 1

2nd phase 2026Multiple choice

Exercise 1 — 1. Para certos números reais a e b e a b 1 0 2 2 ^ h , tem-se log b 16 a 2 = ^ h . Qual é o valor de log b a ab l ? (A) -7 (B) -3 (C) 5 (D) 9

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2026

Exercise 12.1

1st phase 2025Open answer

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Exercise 12.1 — 12.1. Considere, em referencial o.n. Oxy , a representação gráfica da função f e o trapézio [OCAB] , tais que: • o ponto A é o ponto de intersecção do gráfico da função f com a reta de equação y = 5 ; • o ponto B…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2025

Exercise 4

2nd phase 2025Open answer

Exercise 4 — 4. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine os números reais que são solução da equação ln ln ln e x x e x 2 1 4 5 4 5 7 2 x x 2 ] ] ] ] g g g g

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2025

Exercise 4

1st phase 2024Open answer

Exercise 4 — 4. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o conjunto dos números reais que verificam a condição ln ln x x 2 0 2 1 − − . Apresente a sua resposta na forma de intervalo ou de reunião de intervalos de…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2024

Exercise 3

2nd phase 2024Open answer

Exercise 3 — 3. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Na Figura 2, estão representados, em referencial o.n. Oxy , parte do gráfico da função f , de domínio R+ , definida por log f x x a 2 = ] g , com a > 1 , e o trapézio…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2024

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Exercise 9

Special sitting 2024Open answer

Exercise 9 — 9. Resolva, em R , sem recorrer à calculadora, a equação log log x x 2 1 1 1 2 2

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2024

Exercise 8

1st phase 2023Open answer

Exercise 8 — 8. Uma empresa está a desenvolver um programa de testes para melhorar a propulsão de foguetes. Os foguetes utilizados partem do solo e seguem uma trajetória vertical. Em relação a um dos modelos de foguete utilizados,…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2023

Exercise 6

2nd phase 2023Open answer

Exercise 6 — 6. Seja f uma função, de domínio R , definida por f x a ebx ] g , em que a e b são números reais. Sabendo que o gráfico da função f contém os pontos de coordenadas ,1 5 ] g e ,2 7 ] g , determine os valores de a e de b .

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2023

Exercise 8

Special sitting 2023Multiple choice

Exercise 8 — 8. Para certos valores de a e de b e a b 1 1 2 2 ^ h , tem-se log a b 2 a = b l . Qual é o valor de log a b a 3 2 # ^ h ? (A) 2 13 (B) 2 15 (C) 2 19 (D) 2 21

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2023

Exercise 14

1st phase 2022Open answer

Exercise 14 — 14. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine os números reais que são solução da equação ln ln ln e x e x x 1 5 2 3 3 x x ^ ^ ^ ^ h h h h

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2022

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Exercise 14

Special sitting 2022Open answer

Exercise 14 — 14. Determine, sem recorrer à calculadora, o conjunto dos números reais que são solução da equação log log x x 2 1 9 1 6 2 2 ^ ^ h h

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2022

Exercise 15

Special sitting 2022Open answer

Exercise 15 — 15. Seja k um número real positivo. Considere a função f , de domínio ,0 3 + 6 @ , definida por ln f x kx kx ] ^ g h . Determine, sem recorrer à calculadora, o contradomínio da função f .

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2022

Exercise 14

1st phase 2021Open answer

Exercise 14 — 14. Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação ln x e x 1 x 1 _^ h i

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2021

Exercise 11.1

2nd phase 2021Multiple choice

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Exercise 11.1 — 11.1. Durante o arrefecimento, houve um instante t1 em que a temperatura da substância foi 30 ºC. Qual é o valor de k ? (A) ln t 10 1 d n (B) ln t 10 1 − (C) ln t 10 1 (D) ln t 10 1 +

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2021

Exercise 13

2nd phase 2021Open answer

Exercise 13 — 13. Determine, sem recorrer à calculadora, os números reais que são solução da equação ln ln ln x x x x x 1 1 1 3 2 ^ ^ ^ ^ h h h h

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2021

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Exercise 11

Special sitting 2021Open answer

Exercise 11 — 11. Seja g a função, de domínio ,0 2 r : D , definida por log cos log cos log cos g x x x x 1 1 2 2 2 2 2 ^ ^ ^ ^ h h h h Mostre que log sen g x x 2 2 2 = ^ _ ^ h hi

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2021

Exercise 9.2

1st phase 2020Open answer

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Exercise 9.2 — 9.2. A equação f x x 2 1 ^ h tem uma única solução. Determine essa solução e apresente-a na forma ln k − , com k 0 2

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2020

Exercise 5

2nd phase 2020Multiple choice

Exercise 5 — 5. Dados dois números reais positivos, sabe-se que a soma dos seus logaritmos na base 8 é igual a 3 1 A que é igual o produto desses dois números? (A) 2 (B) 3 (C) 8 (D) 9

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2020

Exercise 8

1st phase 2019Multiple choice

Exercise 8 — 8. Sejam a e b dois números reais positivos tais que a b 2 Sabe-se que a b a b 2 ^ h Qual é o valor, arredondado às décimas, de a b ln ln a b 2 2 2 ^ ^ h h? (A) ,0 7 (B) ,1 4 (C) ,0 7 − (D) ,1 4 − FIM DO CADERNO 1…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2019

Exercise 4

2nd phase 2019Open answer

Exercise 4 — 4. O nível, N, de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade, I , medida em microwatt por metro quadrado W m2 n / ^ h, de acordo com a igualdade log N I 60 10 10 , com I 0 2 Relativamente ao som de um certo…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2019

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Exercise 5

2nd phase 2019Multiple choice

Exercise 5 — 5. Para um certo número real k , é contínua em R a função f, definida por se x 1 se k x log f x x x 1 1 1 3 2 Y ] g * Qual é o valor de k ? (A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 9

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2019

Exercise 11.2

2nd phase 2019Multiple choice

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Exercise 11.2 — 11.2. Qual é, para qualquer número real positivo a, o limite da sucessão ln n n a n 2 + + c m ? (A) a2 (B) a 2 (C) a (D) a

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2019

Exercise 6

Special sitting 2019Open answer

Exercise 6 — 6. Na Figura 2, estão representadas, em referencial o.n. xOy, • parte do gráfico da função f, de domínio R , definida por f x e x = ^ h • parte do gráfico da função g, de domínio + R , definida por ln g x x x = ^ h…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2019

Exercise 12.2

Special sitting 2019Multiple choice

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Exercise 12.2 — 12.2. Considere a função f , de domínio R+, definida por ln f x x = ^ h Seja un ^ h a sucessão de termo geral u n n 2 n n 4 c m Qual é o valor de lim f un ^ h ? (A) 4 (B) 2 (C) 2 1 (D) 4 1

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2019

Exercise 4

1st phase 2018Open answer

Exercise 4 — 4. Um feixe de luz incide perpendicularmente sobre um conjunto de três placas sobrepostas, homogéneas e iguais, feitas de um material transparente. A Figura 3 ilustra a situação. Admita que a potência, L, da luz…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2018

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Exercise 10.2

1st phase 2018Multiple choice

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Exercise 10.2 — 10.2. Seja k um número real. Considere a sucessão convergente un ^ h definida por u n n k n n = + c m Sabe-se que o limite de un ^ h é solução da equação ln e x 3 = c m Qual é o valor de k ? (A) 4 1 (B) 3 (C) 3 1 (D) 4

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2018

Exercise 11

1st phase 2018Open answer

Exercise 11 — 11. Sejam a e b números reais superiores a 1 tais que ln ln b a 4 = Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação x a b x 1 $ Apresente a resposta usando a notação de intervalos de números reais.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2018

Exercise 14

1st phase 2018Open answer

Exercise 14 — 14. Na Figura 5, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função h, de domínio + R , definida por ln h x x x = ^ h Para cada número real a pertencente ao intervalo , 2 1 1 < F, sejam P e Q os…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2018

Exercise 13

2nd phase 2018Open answer

Exercise 13 — 13. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log log x x 1 3 8 2 2 # + − − ^ ^ h h Apresente a resposta usando a notação de intervalos de números reais.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2018

Exercise Part II · 4.2

2nd phase 2017Open answer

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Exercise Part II · 4.2 — 4.2. Resolva a inequação f x ln x 2 2 ^ h Apresente o conjunto solução usando a notação de intervalos de números reais.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2017

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Exercise Part I · 3

Special sitting 2017Multiple choice

Exercise Part I · 3 — 3. Seja a um número real superior a 1 Qual é o valor de log 4 5ln a a + ^ h ? (A) ln e 10 ^ h (B) ln e 5 4 ^ h (C) ln e 5 2 ^ h (D) ln e 20 ^ h

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2017

Exercise Part II · 3.1

Special sitting 2017Open answer

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Exercise Part II · 3.1 — 3.1. Determine o valor de k, sabendo que, duas horas após o início do processo, a massa de poluente é metade da existente ao fim de uma hora. Apresente o resultado na forma ln a, com a 1 2

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2017

Exercise Part II · 6.2

1st phase 2016Open answer

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Exercise Part II · 6.2 — 6.2. Seja a um número real maior do que 1 Mostre que a reta secante ao gráfico de f nos pontos de abcissas a e a − passa na origem do referencial.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2016

Exercise Part I · 3

2nd phase 2016Multiple choice

Exercise Part I · 3 — 3. Para certos valores de a e de b e a b 1 1 2 2 ^ h, tem-se log ab 5 a 3 = ^ h Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log a b ? (A) 3 5 (B) 4 3 (C) 5 3 (D) 3 1

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2016

Exercise Part I · 4

2nd phase 2016Multiple choice

Exercise Part I · 4 — 4. Considere a função f , de domínio R+, definida por ln f x x = ^ h Considere a sucessão de termo geral u e n n n = Qual é o valor de lim f un ^ h ? (A) 3 − (B) 0 (C) e (D) 3 +

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2016

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Exercise Part I · 4

Special sitting 2016Multiple choice

Exercise Part I · 4 — 4. Sejam a e b dois números reais superiores a 1, tais que a b3 = Qual dos valores seguintes é igual a log log b a a b + ? (A) 3 4 (B) 1 (C) 3 10 (D) 3

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2016

Exercise Part I · 5

Special sitting 2016Multiple choice

Exercise Part I · 5 — 5. Seja f a função, de domínio ,3 3 − 6 @, cujo gráfico está representado na Figura 1. Tal como a figura sugere, todos os objetos inteiros têm imagens inteiras. Seja g a função, de domínio R+, definida por ln g x x = ^…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2016

Exercise Part II · 5.1

Special sitting 2016Open answer

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Exercise Part II · 5.1 — 5.1. Admita que uma nave do tipo referido transporta uma carga de 25 mil toneladas. Determine quanto tempo demora essa nave a percorrer 200 quilómetros a partir do instante em que termina a queima do combustível,…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2016

Exercise Part II · 5.2

Special sitting 2016Open answer

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Exercise Part II · 5.2 — 5.2. Determine qual deve ser a massa da carga transportada por uma dessas naves, de modo que atinja, após a queima da totalidade do combustível, uma velocidade de 3 quilómetros por segundo. Apresente o resultado em…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2016

Exercise Part II · 6

Special sitting 2016Open answer

Exercise Part II · 6 — 6. Seja k um número real positivo. Considere a função g, de domínio ,k 3 − + 6 @ , definida por ln g x x k = + ^ ^ h h Mostre que: se então , , g g k k 0 0 2 1 1 # 1 ! ^ ^ h h ; E Na resolução deste item, não utilize a…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2016

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Exercise Part I · 3

1st phase 2015Multiple choice

Exercise Part I · 3 — 3. Qual das seguintes expressões é, para qualquer número real k, igual a log 9 3k 3e o ? (A) k 2 (B) k 2 - (C) k 9 (D) k 9 -

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2015

Exercise Part I · 3

2nd phase 2015Multiple choice

Exercise Part I · 3 — 3. Para certos valores de a e de b a b 1 1 e 2 2 ^ h, tem-se log a 3 1 b = Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log a b a 2 ^ h ? (A) 3 2 (B) 3 5 (C) 2 (D) 5

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2015

Exercise Part II · 3.2

2nd phase 2015Open answer

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Exercise Part II · 3.2 — 3.2. Resolva, em , 3 3 − @ @, a condição f x x 2 1 2 − ^ h Apresente o conjunto solução, usando a notação de intervalos de números reais.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2015

Exercise Part I · 3

Special sitting 2015Multiple choice

Exercise Part I · 3 — 3. Seja a um número real. Seja a função f, de domínio R+, definida por f x e ln a x = ^ h Considere, num referencial o.n. xOy, o ponto , P 2 8 ^ h Sabe-se que o ponto P pertence ao gráfico de f Qual é o valor de a ? (A)…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2015

Exercise Part II · 4.2

Special sitting 2015Open answer

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Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2015

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Exercise Part I · 5

1st phase 2014Multiple choice

Exercise Part I · 5 — 5. Considere, para um certo número real a positivo, a função f , de domínio + R , definida por ln f x a x a = + ^ c h m Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f l, primeira…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2014

Exercise Part II · 7

1st phase 2014Open answer

Exercise Part II · 7 — 7. Considere a função f, de domínio , e2 3 − + 6 @ , defi nida por ln f x x e2 = − + ^ ^ h h Na Figura 5, estão representados, num referencial o. n. xOy, parte do gráfi co da função f e o triângulo [ABC ] y C B A O x f…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2014

Exercise Part II · 4.2

2nd phase 2014Open answer

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Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2014

Exercise Part II · 6.2

Special sitting 2014Open answer

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Exercise Part II · 6.2 — 6.2. Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função g, os pontos A e B, e a reta r de equação y mx m 0 , com 1 = Sabe-se que: • os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g • a abcissa do…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2014

Exercise Part II · 4.3

1st phase 2013Open answer

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Exercise Part II · 4.3 — 4.3. Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função g, de domínio R+, definida por ln g x f x x x 2 = − + ^ ^ h h Sabe-se que: • A é o ponto de coordenadas (2, 0) • B é o ponto de coordenadas (5,…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2013

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Exercise Part I · 3

2nd phase 2013Multiple choice

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Exercise Part I · 3 — 3. Sejam a e b dois números reais tais que 1 < a < b e log b 3 a = Qual é, para esses valores de a e de b, o valor de log a b a × log a b 5 3 a + ^ h ? (A) 6 + b (B) 8 + b (C) 6 + ab (D) 8 + ab

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2013

Exercise Part II · 6

2nd phase 2013Open answer

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Exercise Part II · 6 — 6. Considere, num referencial o.n. xOy, a representação gráfica da função f, de domínio ,1 2 − 6 @, definida por 3 f x x ln x 1 1 2 = − − + + ^ ^ h h, o ponto A de coordenadas (2, 0) e um ponto P que se desloca ao longo…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2013

Exercise Part I · 6

Special sitting 2013Multiple choice

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Exercise Part I · 6 — 6. Seja a um número real positivo. Considere o conjunto : 0 ln S x e a R x ! # = − − ^ h $ . Qual dos conjuntos seguintes é o conjunto S ? (A) 1 , ln ln a a − + − ^ h 6 @ (B) , ln ln a a 1 − + − ^ h 6 6 (C) , 1 ln a 3 −…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2013

Exercise Part I · 5

1st phase 2012Multiple choice

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Exercise Part I · 5 — 5. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio ,a a 3 1 , com 3 1 + − 6 6 Para esse valor de a, a função f , contínua em R, é definida por log f x x x a g x x a…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2012

Exercise Part II · 4.1

1st phase 2012Open answer

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Exercise Part II · 4.1 — 4.1. Mostre que ln 2 2 2 + ^ h é o único zero da função f , recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2012

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Exercise Part II · 4.2

1st phase 2012Open answer

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Exercise Part II · 4.2 — 4.2. Considere, num referencial o. n. xOy , os gráficos das funções f e g e o triângulo [OAB] Sabe-se que: • O é a origem do referencial; • A e B são pontos do gráfico de f • a abcissa do ponto A é o zero da função f •…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2012

Exercise Part II · 5

2nd phase 2012Open answer

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Exercise Part II · 5 — 5. Considere a função f , de domínio ,7 0 - 6 6, definida por ln f x e x 3 x 2 = + + ^ ^ h h Sejam A e B os pontos de intersecção do gráfico de f com a bissetriz dos quadrantes pares, e seja d a distância entre os…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2012

Exercise Part I · 6

Special sitting 2012Multiple choice

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Exercise Part I · 6 — 6. Sejam a, b e c três números tais que , a b c 1 , e R R 3 ! ! ! + + + 6 @ Sabe-se que log log b c c 3 e que a a = = Qual das expressões seguintes é equivalente a log b c a × ? (A) c 3 + (B) c 3 − (C) c 2 3 + (D) c 2 3…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2012

Exercise Part II · 7

Special sitting 2012Open answer

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Exercise Part II · 7 — 7. Considere, num referencial o. n. xOy, o gráfico da função f , de domínio R +, definida por ln f x e x 3 1 , x 0 1 = + + ^ ` h j Seja P um ponto do gráfico de f A distância do ponto P à origem é igual a 2 Determine a…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2012

Exercise Part II · 5.2

1st phase 2011Open answer

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Exercise Part II · 5.2 — 5.2. Existem dois pontos no gráfico de f cujas ordenadas são o cubo das abcissas. Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: • equacionar o problema; • reproduzir o…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2011

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Exercise Part II · 3.2

2nd phase 2011Open answer

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Exercise Part II · 3.2 — 3.2. Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de Março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B. Apresente o…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 2nd phase, 2011

Exercise Part II · 4

Special sitting 2011Open answer

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Exercise Part II · 4 — 4. Para um certo valor real de k, admita que a quantidade de combustível, em litros, existente no depósito de uma certa máquina agrícola, t minutos após ter começado a funcionar, é dada aproximadamente por 12 , , log Q…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, Special sitting, 2011

Exercise Part I · 6

1st phase 2010Multiple choice

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Exercise Part I · 6 — 6. Seja g a função, de domínio , definida por Considere, num referencial o.n. xOy , um triângulo [OAB] tal que: • O é a origem do referencial; • A é um ponto de ordenada 5; • B é o ponto de intersecção do gráfico da…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2010

Exercise Part II · 4.1

1st phase 2010Open answer

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Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2010

Exercise Part II · 4.2

1st phase 2010Open answer

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Exercise Part II · 4.2 — 4.2. Determine quanto tempo foi necessário para vender 2400 bilhetes. Apresente o resultado em horas e minutos. Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três…

Source: IAVE/EduQA — exam 635, 1st phase, 2010

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