Matemática A · 12.º ano · Números complexos

Forma trigonométrica: operações, potências e raízes

95 exercícios de exames nacionais, dos mais recentes para os mais antigos. Página 3 de 4.

Exercício Grupo II · 1.2

2.ª fase 2014Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. Seja ,0 ! r a 6 @ Resolva, em C, a equação cos z z 2 1 0 2 a − + = Apresente as soluções, em função de a, na forma trigonométrica.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2014

Exercício Grupo I · 8

Época especial 2014Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2014

Exercício Grupo II · 1.1

Época especial 2014Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Considere cis z i i i z 2 1 4 e 1 1 2 r = − − = − − c m Averigue se a imagem geométrica do complexo z z 1 4 2 # ^ h pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2014

Exercício Grupo II · 1.2

Época especial 2014Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. Considere o número complexo sen cos w i 2 2 2 a a = + ^ h , com ,0 2 ! r a ; E Escreva w na forma trigonométrica.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2014

Exercício Grupo I · 8

1.ª fase 2013Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 8 — 8. Em C, conjunto dos números complexos, considere z i 8 6 = −+ e z w i z2 = −× Seja a um argumento do número complexo z Qual das opções seguintes é verdadeira? (A) 10 w cis 3 2 a r = − c m (B) w cis 2 3 2 r a = − c m…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2013

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Exercício Grupo II · 1.1

1.ª fase 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Sabe-se que z z 2 1 é uma raiz quarta de um certo número complexo w Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2013

Exercício Grupo II · 1.2

1.ª fase 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. Seja z cis 3 a = Determine o valor de a pertencente ao intervalo , 2r r - - 6 @ , sabendo que 2 z z 3 + é um número real.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2013

Exercício Grupo I · 7

2.ª fase 2013Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 7 — 7. Considere, em C, conjunto dos números complexos, z bi 2 = + , com b < 0 Seja ,0 2 ! a r ; E Qual dos números complexos seguintes pode ser o conjugado de z ? (A) cis 2 3 a ^ h (B) 3cis a − ^ h (C) 3cis a ^ h (D) cis 2…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2013

Exercício Grupo II · 1.1

2.ª fase 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Considere z i i z i z 2 1 3 2 e 1 22 2 1 = + + = − Determine, sem utilizar a calculadora, o menor número natural n tal que z2 n ^ h é um número real negativo.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2013

Exercício Grupo II · 1.2

2.ª fase 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. Seja , ! a r r − 6 6 Mostre que cos sen cos cos i i cis 2 2 a a r a r a r a + − + − = − ^ ` ^ h j h

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2013

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Exercício Grupo I · 7

Época especial 2013Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 7 — 7. Em C, conjunto dos números complexos, considere w i 1 = + 2013 ^ h A qual dos conjuntos seguintes pertence w ? (A) : z z z 1 > C ! − " , (B) : z z 2 C # ! " , (C) z : z z C ! = $ . (D) : Re Im z z z C ! = ^ ^ h h " ,

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2013

Exercício Grupo I · 8

Época especial 2013Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 8 — 8. Na Figura 1, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas dos números complexos: z, z1, z2, z3 e z4 Figura 1 z z1 z2 z3 z4 Re(z) Im(z) O Sabe-se que w é um número complexo tal que z i w = × Qual é o…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2013

Exercício Grupo II · 1.1

Época especial 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Seja z cisi = , com i pertencente a , 0 2r 6 6 Determine i de modo que z z 1 seja um número real negativo, sem utilizar a calculadora.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2013

Exercício Grupo II · 1.2

Época especial 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. As imagens geométricas de z2 e do seu conjugado, z2, são vértices consecutivos de um polígono regular. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice n de um certo número complexo w…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2013

Exercício Grupo I · 7

1.ª fase 2012Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 7 — 7. Na Figura 3, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w, z1, z2, z3 e z4 Qual é o número complexo que pode ser igual a i w 3 ? (A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 Figura 3 w…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2012

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Exercício Grupo II · 1.1

1.ª fase 2012Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Resolva a equação z z z 3 1 2 + = , sem recorrer à calculadora. Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2012

Exercício Grupo II · 1.2

1.ª fase 2012Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. Seja w um número complexo não nulo. Mostre que, se w e w 1 são raízes de índice n de um mesmo número complexo z, então z = 1 ou z = –1

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2012

Exercício Grupo I · 8

2.ª fase 2012Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 8 — 8. Na Figura 3, está representado, no plano complexo, um polígono regular [ABCDEFGHI] Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de índice n de um número complexo z O vértice A tem coordenadas (0,…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2012

Exercício Grupo II · 1.1

2.ª fase 2012Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Seja n um número natural. Determine cis cis i 2 5 3 2 6 n 4 6 # r r + − − c c m m , sem recorrer à calculadora. Apresente o resultado na forma trigonométrica.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2012

Exercício Grupo II · 1.2

2.ª fase 2012Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. Seja , 4 2 ! a r r ; E Sejam z z e 2 1 dois números complexos tais que cis cis z z 2 e a a r = = + 2 1 c m Mostre, analiticamente, que a imagem geométrica de z z + 1 2, no plano complexo, pertence ao 2.º quadrante.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2012

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Exercício Grupo I · 8

Época especial 2012Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 8 — 8. Na Figura 2, estão representadas, no plano complexo, uma circunferência, de centro na origem e de raio 1, e uma reta r, definida por Re z 2 1 = ^ h Seja z1 o número complexo cuja imagem geométrica está no 1.º…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2012

Exercício Grupo II · 1.1

Época especial 2012Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Considere o número complexo 8 8i 3 z = − Determine as raízes de índice 4 de z Apresente as raízes na forma trigonométrica.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2012

Exercício Grupo I · 8

1.ª fase 2011Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 8 — 8. Na Figura 4, está representado, no plano complexo, a sombreado, um sector circular. Sabe-se que: • o ponto A está situado no 1.º quadrante; • o ponto B está situado no 4.º quadrante; • [AB ] é um dos lados de um…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2011

Exercício Grupo II · 1.1

1.ª fase 2011Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. O complexo z1 é raiz do polinómio z z z 3 2 16 16 − + − Determine, em , as restantes raízes do polinómio. Apresente as raízes obtidas na forma trigonométrica.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2011

Exercício Grupo II · 1.2

1.ª fase 2011Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.2 — 1.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geométrica de z2 × z3, no plano complexo, está no terceiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2011

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Exercício Grupo II · 1.1

2.ª fase 2011Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Considere z i 1 1 2 = + e w z i b b n n = × −       ∈ ∈ + 1 4 3 2 5 4 cis p , com e Determine o valor de b para o qual w é um número real.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2011

Exercício Grupo I · 8

Época especial 2011Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 8 — 8. Considere, em , um número complexo w No plano complexo, a imagem geométrica de w é o vértice A do octógono [ABCDEFGH ], representado na Figura 3. Os vértices desse polígono são as imagens geométricas das raízes de…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2011

Exercício Grupo II · 1.1

Época especial 2011Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 1.1 — 1.1. Considere 2 z i i n 3 , N ! = + + n 1 4 2014 + Sabe-se que z1 é uma das raízes cúbicas de um certo complexo z Determine z Apresente o resultado na forma algébrica.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2011

Exercício Grupo I · 7

1.ª fase 2010Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 7 — 7. Em C, conjunto dos números complexos, considere Para qual dos valores seguintes de θ podemos afirmar que z é um número imaginário puro? (A) (B) (C) (D) π 5 8 π 8 π 2 π −2 cis , z     = 3 − ∈     8   com …

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2010

Exercício Grupo I · 8

1.ª fase 2010Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 8 — 8. Na Figura 3, está representada, no plano complexo, a sombreado, parte do semiplano definido pela condição Re(z) > 3 Figura 3 Qual dos números complexos seguintes tem a sua imagem geométrica na região representada a…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2010

Dificuldades em Forma trigonométrica: operações, potências e raízes?

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