Matemática A · 12.º ano · Cálculo diferencial

Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações

30 exercícios de exames nacionais, dos mais recentes para os mais antigos.

Exercício 2.3

1.ª fase 2026Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 2.3 — 2.3. Mostre que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função f , de abcissa pertencente ao intervalo ,1 0 - 6 @ , cuja ordenada é simétrica da abcissa.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2026

Exercício 9

1.ª fase 2026Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2026

Exercício 7

2.ª fase 2026Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2026

Exercício 11

Época especial 2026Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2026

Exercício 12.2

1.ª fase 2025Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 12.2 — 12.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta de equação y = 3x + 4 em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo ,0 16 @ .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2025

Dificuldades em Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Os nossos professores tiram as dúvidas numa explicação individual — online, ou em casa com um professor da zona.

Falar com um professor Explicações de Matemática A→

Exercício 14

2.ª fase 2025Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2025

Exercício 8

1.ª fase 2024Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2024

Exercício 8

Época especial 2024Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2024

Exercício 12.2

1.ª fase 2023Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 12.2 — 12.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta r em, pelo menos, um ponto de…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2023

Exercício 9.2

Época especial 2023Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 9.2 — 9.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de g cuja ordenada é igual à…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2023

Dificuldades em Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Os nossos professores tiram as dúvidas numa explicação individual — online, ou em casa com um professor da zona.

Falar com um professor Explicações de Matemática A→

Exercício 11

1.ª fase 2021Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2021

Exercício 10.2

2.ª fase 2020Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 10.2 — 10.2. Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que a equação f x g x = ^ ^ h h tem, pelo menos, uma solução no intervalo ,0 3 r : D

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2020

Exercício 10.3

Época especial 2020Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 10.3 — 10.3. Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo , e e6 @

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2020

Exercício 14

1.ª fase 2018Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2018

Exercício Grupo II · 6

2.ª fase 2016Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2016

Dificuldades em Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Os nossos professores tiram as dúvidas numa explicação individual — online, ou em casa com um professor da zona.

Falar com um professor Explicações de Matemática A→

Exercício Grupo II · 6

Época especial 2016Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2016

Exercício Grupo II · 4.3

1.ª fase 2015Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 4.3 — 4.3. Mostre que a equação f x 3 = ^ h é possível em , e 1 6 @ e, utilizando a calculadora gráfica, determine a única solução desta equação, neste intervalo, arredondada às centésimas. Na sua resposta: • recorra ao…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2015

Exercício Grupo II · 2.2

2.ª fase 2015Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 2.2 — 2.2. Justifique, recorrendo ao teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante, entre os três segundos e os quatro segundos após o início da contagem do tempo, em que a distância do ponto P ao ponto O foi igual a…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2015

Exercício Grupo I · 4

1.ª fase 2014Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2014

Exercício Grupo II · 7

1.ª fase 2013Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 7 — 7. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f , contínua, de domínio ,a a - 6 @ Sabe-se que f a f a − = ^ ^ h h e f a f 0 > ^ ^ h h Mostre que a condição f x f x a = + ^ ^ h h tem, pelo menos, uma…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2013

Dificuldades em Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Os nossos professores tiram as dúvidas numa explicação individual — online, ou em casa com um professor da zona.

Falar com um professor Explicações de Matemática A→

Exercício Grupo I · 4

2.ª fase 2013Escolha múltipla

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo I · 4 — 4. Seja f uma função de domínio ,e 1 − 6 @ Sabe-se que: • f é contínua no seu domínio; • f (–e) = 1 • f (1) = e Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A) A equação f x 1 0 −= ^ h tem pelo menos uma…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2013

Exercício Grupo II · 7.2

Época especial 2013Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 7.2 — 7.2. Mostre, sem resolver a equação, que f x 2 = ^ h tem, pelo menos, uma solução em , 6 4 r r ; E

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2013

Exercício Grupo I · 4

1.ª fase 2012Escolha múltipla

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo I · 4 — 4. Seja f uma função de domínio R, 3 f x e definida por = − x ^ h Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite afirmar que a equação f x x 2 3 = −− ^ h tem, pelo menos, uma solução? (A) , 0 5 1 : D (B)…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2012

Exercício Grupo II · 6.2

2.ª fase 2012Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 6.2 — 6.2. Mostre que existe um valor de x compreendido entre 12 5 e r r para o qual a área da região sombreada é 5 Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2012

Exercício Grupo II · 4.1

Época especial 2012Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 4.1 — 4.1. Mostre que, durante os primeiros 15 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro. Se utilizar a calculadora em…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2012

Dificuldades em Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Os nossos professores tiram as dúvidas numa explicação individual — online, ou em casa com um professor da zona.

Falar com um professor Explicações de Matemática A→

Exercício Grupo I · 4

1.ª fase 2011Escolha múltipla

Ver o enunciado comum

$Exercício Grupo I · 4 — 4. Seja f uma função de domínio ,0 3 + 7 7, definida por x x x e x 2 9 0 5 1 5 se se x x 1 # $ − − f = ^ h Z [ \ ]] ]] Em qual dos intervalos seguintes o teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos,…$

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2011

Exercício Grupo II · 5.2

2.ª fase 2011Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2011

Exercício Grupo II · 5.2

Época especial 2011Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 5.2 — 5.2. Seja f l a primeira derivada de f Mostre, sem resolver a equação, que f x 4 1 = l_ i tem, pelo menos, uma solução em ,0 17 A Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2011

Exercício Grupo II · 4.2

2.ª fase 2010Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2010

Exercício Grupo II · 5.1

2.ª fase 2010Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 5.1 — 5.1. Mostre que tem, pelo menos, uma solução em Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use três casas decimais. ,   −2 −1     ( ) , f x = 1 5

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2010

Dificuldades em Teorema de Bolzano-Cauchy e resolução aproximada de equações?

Os nossos professores tiram as dúvidas numa explicação individual — online, ou em casa com um professor da zona.

Falar com um professor Explicações de Matemática A→