Matemática A · 12.º ano · Cálculo diferencial

Segunda derivada: concavidades e pontos de inflexão

46 exercícios de exames nacionais, dos mais recentes para os mais antigos.

Exercício 14

1.ª fase 2026Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2026

Exercício 2.1

2.ª fase 2026Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 2.1 — 2.1. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente: • o(s) intervalo(s) em que o gráfico da função f tem concavidade voltada…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2026

Exercício 10

Época especial 2026Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2026

Exercício 11.1

2.ª fase 2025Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2025

Exercício 11

Época especial 2025Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2025

Dificuldades em Segunda derivada: concavidades e pontos de inflexão?

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Exercício 13

Época especial 2025Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2025

Exercício 10

2.ª fase 2024Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2024

Exercício 11.2

2.ª fase 2024Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 11.2 — 11.2. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente: – o(s) intervalo(s) em que o gráfico de g tem concavidade voltada para…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2024

Exercício 3

1.ª fase 2023Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2023

Exercício 9

1.ª fase 2023Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2023

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Exercício 9.1

2.ª fase 2022Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 9.1 — 9.1. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo ,0 r6 @ . Na sua resposta, apresente: – o(s) intervalo(s) em que o gráfico de g tem…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2022

Exercício 13

Época especial 2022Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2022

Exercício 12.1

2.ª fase 2020Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 12.1 — 12.1. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente: – – o(s) intervalo(s) em…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2020

Exercício 10.2

Época especial 2020Resposta aberta

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Exercício 10.2 — 10.2. Estude, sem recorrer à calculadora, a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão no intervalo ,1 3 + 6 @ Na sua resposta, apresente: – – o(s)…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2020

Exercício 13.1

2.ª fase 2019Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 13.1 — 13.1. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente: – – o(s) intervalo(s) em que o gráfico de g tem concavidade voltada para…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2019

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Exercício 6

2.ª fase 2018Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2018

Exercício 15

2.ª fase 2018Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2018

Exercício 13

Época especial 2018Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2018

Exercício Grupo I · 3

1.ª fase 2017Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2017

Exercício Grupo I · 5

2.ª fase 2017Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2017

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Exercício Grupo I · 4

Época especial 2017Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2017

Exercício Grupo II · 4.3

Época especial 2017Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 4.3 — 4.3. O gráfico da função f tem um único ponto de inflexão, cuja abcissa pertence ao intervalo ,1 26 @ Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa desse ponto. Na sua resposta: • reproduza, num referencial,…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2017

Exercício Grupo II · 5.2

1.ª fase 2016Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 5.2 — 5.2. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta, apresente: – – o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2016

Exercício Grupo II · 4.2

Época especial 2016Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2016

Exercício Grupo II · 4.2

1.ª fase 2015Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 4.2 — 4.2. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo , 2 1 3 + : D Na sua resposta, apresente: • o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2015

Dificuldades em Segunda derivada: concavidades e pontos de inflexão?

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Exercício Grupo I · 5

2.ª fase 2015Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2015

Exercício Grupo II · 4

2.ª fase 2015Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2015

Exercício Grupo I · 4

Época especial 2015Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2015

Exercício Grupo II · 6.2

1.ª fase 2014Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 6.2 — 6.2. Estude o gráfico da função f , quanto ao sentido das concavidades e quanto à existência de pontos de inflexão em 2 4 , r r - ; E , recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2014

Exercício Grupo I · 6

2.ª fase 2014Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2014

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Exercício Grupo I · 5

Época especial 2014Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2014

Exercício Grupo II · 5

1.ª fase 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 5 — 5. Na Figura 2 , está representada, num referencial ortogonal xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f , de grau 3 4 2 2 4 −2 −4 −4 −2 x y f O Figura 2 Sabe-se que: • -1 e 2 são os únicos zeros da função f • gl,…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2013

Exercício Grupo I · 5

2.ª fase 2013Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 5 — 5. Sejam f f e l ll, de domínio R, a primeira derivada e a segunda derivada de uma função f , respetivamente. Sabe-se que: • a é um número real; • P é o ponto do gráfico de f de abcissa a • 0 lim x a f x f a x a − − = "…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2013

Exercício Grupo II · 5

2.ª fase 2013Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 5 — 5. Seja g uma função, de domínio R+, cuja derivada, gl, de domínio R+, é dada por ln g x e e x 6 4 x x = + + − l^ ^ h h Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2013

Exercício Grupo I · 4

Época especial 2013Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 4 — 4. Seja f uma função cuja derivada, f l, de domínio R, é dada por f x x 4 2 = + l^ ^ h h Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O gráfico da função f tem a concavidade voltada para cima em R (B) A função f tem…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2013

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Exercício Grupo I · 6

1.ª fase 2012Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 6 — 6. Na Figura 2, está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f , de domínio R Figura 2 f O x 2 1 –1 2 –1 –2 –3 –4 –2 y –5 1 Sejam f f e l ll, de domínio R, a primeira derivada e a segunda…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2012

Exercício Grupo II · 4.3

2.ª fase 2012Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 4.3 — 4.3. Seja g uma função, de domínio R +, cuja derivada, gl , de domínio R +, é dada por g x f x x 1 = − l^ ^ h h Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2012

Exercício Grupo I · 4

Época especial 2012Escolha múltipla

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo I · 4 — 4. Na Figura 1, está representada, num referencial o. n. xOy, parte do gráfico de hll, segunda derivada de uma função h, de domínio R Figura 1 y '' x O h Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2012

Exercício Grupo II · 6

Época especial 2012Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 6 — 6. Considere, num referencial o. n. xOy, o gráfico de uma função h, de domínio R Sabe-se que: • a, b e c são números reais positivos e a b c < < • h tem um mínimo relativo em ,a c6 @ • h é crescente em ,0 3 − 6 @ • 0…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2012

Exercício Grupo II · 6.2

1.ª fase 2011Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 6.2 — 6.2. Seja ′f a primeira derivada da função f , e seja f ll a segunda derivada da função f Mostre que 3 2 cos sen f x f x f x x x 4 2 2 + + = − + l ll _ _ _ _ _ a i i i i ik, para qualquer número real x

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2011

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Exercício Grupo II · 7

1.ª fase 2011Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 7 — 7. Na Figura 6, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico da função g x y g O Figura 6 Sabe-se que: • g é uma função contínua em  • g não tem zeros • a segunda derivada, f ll, de uma certa função…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2011

Exercício Grupo I · 4

2.ª fase 2011Escolha múltipla

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo I · 4 — 4. Na Figura 1, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico de uma função polinomial f , de grau 4. O y x f Figura 1 Qual das expressões seguintes pode definir a função f ′′, segunda derivada de f ?…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2011

Exercício Grupo II · 6

2.ª fase 2011Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 6 — 6. Para a, b e n, números reais positivos, considere a função f , de domínio R, definida por cos sen f a n b n x x x = + _ _ _ i i i Seja f ′′ a segunda derivada da função f Mostre que f n f x x 0 2 + = ll _ _ i i ,…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2011

Exercício Grupo I · 5

Época especial 2011Escolha múltipla

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo I · 5 — 5. Para um certo número real a, seja a função f , de domínio , definida por f x ax 1 = − 2 _ i Na Figura 1, está representada, num referencial o. n. xOy, parte do gráfico da função f ll, segunda derivada da função f…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2011

Exercício Grupo II · 6.2

Época especial 2011Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 6.2 — 6.2. Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão no intervalo , 3 2 3 p p - - ; E Resolva o item 6.3. recorrendo às capacidades gráficas da sua…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2011

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Exercício Grupo I · 4

1.ª fase 2010Escolha múltipla

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Exercício Grupo I · 4 — 4. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função afim f , de domínio R Figura 1 Seja h a função definida por Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2010

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