Matemática A · 11.º ano · Geometria analítica

Equações cartesianas de planos; posição relativa de retas e planos

60 exercícios de exames nacionais, dos mais recentes para os mais antigos.

Exercício 4.1

1.ª fase 2026Escolha múltipla

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Exercício 4.1 — 4.1. Qual das equações seguintes define o plano perpendicular à reta DH e que passa no ponto G ? (A) x y 3 9 0 (B) x y 3 33 0 (C) x y 6 2 27 0 (D) x y 2 6 15 0

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2026

Exercício 8.2

2.ª fase 2026Resposta aberta

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Exercício 8.2 — 8.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o volume do cubo [ABCDEFGH] .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2026

Exercício 1.2

Época especial 2026Resposta aberta

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Exercício 1.2 — 1.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Seja a o plano que passa no ponto de coordenadas , , 4 3 5 - ^ h e é perpendicular à reta AB . Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta AB com o plano a…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2026

Exercício 10.1

1.ª fase 2025Escolha múltipla

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Exercício 10.1 — 10.1. Qual das equações seguintes define uma reta perpendicular à reta DF e que passa no ponto A ? (A) , , , , , , , x y z k k 1 2 1 5 0 1 R ! ^ ^ ^ h h h (B) , , , , , , , x y z k k 4 3 1 0 5 1 R ! ^ ^ ^ h h h (C) , ,…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2025

Exercício 10.2

1.ª fase 2025Resposta aberta

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Exercício 10.2 — 10.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do ponto C .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2025

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Exercício 10.2

2.ª fase 2025Resposta aberta

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Exercício 10.2 — 10.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do ponto V .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2025

Exercício 6.1

Época especial 2025Escolha múltipla

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Exercício 6.1 — 6.1. Em qual das opções seguintes se apresentam as coordenadas de um ponto pertencente à reta CD ? (A) (3, 4, 21) (B) (3, 6, 18) (C) (2, 4, 21) (D) (2, 6, 18) B Figura 3

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2025

Exercício 6.2

Época especial 2025Resposta aberta

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Exercício 6.2 — 6.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o volume do prisma [ABCDEFGH] .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2025

Exercício 3.1

1.ª fase 2024Escolha múltipla

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Exercício 3.1 — 3.1. Qual das equações seguintes é uma equação do plano ABF ? (A) x y z 2 3 6 22 0 (B) x y z 2 3 6 20 0 (C) x y 3 2 20 0 (D) x y 3 2 22 0 x y O A B Figura 1

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2024

Exercício 1.1

2.ª fase 2024Escolha múltipla

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Exercício 1.1 — 1.1. Qual das seguintes equações vetoriais define a reta que passa no ponto A e é paralela à reta FC ? (A) , , , , , , , x y z k k 5 1 7 1 5 0 R ! ^ ^ ^ h h h (B) , , , , , , , x y z k k 5 1 7 1 5 0 R ! ^ ^ ^ h h h (C)…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2024

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Exercício 5.1

Época especial 2024Escolha múltipla

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Exercício 5.1 — 5.1. Qual das seguintes equações define um plano paralelo ao plano que contém a base do cone e que passa no ponto de coordenadas (1, -3, 5) ? (A) x y 2 5 0 (B) x y 2 10 0 (C) x y 2 5 0 (D) x y 3 5 0

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2024

Exercício 5.2

Época especial 2024Resposta aberta

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Exercício 5.2 — 5.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do ponto V .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2024

Exercício 6.1

1.ª fase 2023Escolha múltipla

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Exercício 6.1 — 6.1. Qual das seguintes equações vetoriais define a reta OD ? (A) , , , , , , , x y z k k 0 6 8 0 2 2 3 R ! ^ ^ a h h k (B) , , , , , , , x y z k k 0 4 3 0 2 2 3 R ! ^ ^ a h h k (C) , , , , , , , x y z k k 0 4 3 0 3 4 R…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2023

Exercício 6.2

1.ª fase 2023Resposta aberta

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Exercício 6.2 — 6.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do ponto C .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2023

Exercício 8.2

2.ª fase 2023Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício 8.2 — 8.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine as coordenadas do vértice F do prisma.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2023

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Exercício 5.1

Época especial 2023Escolha múltipla

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Exercício 5.1 — 5.1. Qual das seguintes equações define o plano que passa no ponto A e é perpendicular ao eixo Ox ? (A) z 0 = (B) y 6 = (C) x 2 3 = (D) x y z 0

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2023

Exercício 5.2

Época especial 2023Resposta aberta

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Exercício 5.2 — 5.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o volume do prisma [OABCDE] .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2023

Exercício 6.1

1.ª fase 2022Escolha múltipla

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Exercício 6.1 — 6.1. Qual das seguintes equações define um plano perpendicular ao plano que contém a base do cone e que passa no ponto de coordenadas , , 1 2 1 − ^ h ? (A) y z 4 3 11 (B) x y z 3 4 10 (C) y z 3 4 8 (D) x y z 3 4 3

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2022

Exercício 6.2

1.ª fase 2022Resposta aberta

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Exercício 6.2 — 6.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Determine o volume do cone.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2022

Exercício 5.2

2.ª fase 2022Resposta aberta

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Exercício 5.2 — 5.2. Resolva este item sem recorrer à calculadora. Sabe-se que o vértice E do cubo pertence à reta definida pela equação , , , , , , , x y z k k 0 0 3 1 1 1 R ! ^ ^ ^ h h h Determine as coordenadas do vértice E .

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2022

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Exercício 1.1

Época especial 2022Escolha múltipla

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Exercício 1.1 — 1.1. Qual das seguintes equações define o plano que contém a face [GHIJKL] ? (A) z 2 = (B) z 4 = (C) x 3 4 = (D) x 3 8 = Figura 1 x y B C A E D

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2022

Exercício 1.2

Época especial 2022Resposta aberta

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Exercício 1.2 — 1.2. Determine, sem recorrer à calculadora, uma equação cartesiana do plano LEF . Apresente a equação na forma ax by cz d 0 , em que a , b , c e d são números reais.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2022

Exercício 1.1

1.ª fase 2021Escolha múltipla

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Exercício 1.1 — 1.1. Qual das equações seguintes define uma reta perpendicular à reta EF e que passa no ponto E? (A) , , , , , , , x y z k k 7 3 3 2 3 0 R ! ^ ^ ^ h h h (B) , , , , , , , x y z k k 7 2 15 0 3 3 R ! ^ ^ ^ h h h (C) , ,…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2021

Exercício 1.2

2.ª fase 2021Resposta aberta

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Exercício 1.2 — 1.2. Determine uma equação do plano perpendicular à reta RS e que passa no ponto P Apresente essa equação na forma ax by cz d 0

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2021

Exercício 1.1

Época especial 2021Escolha múltipla

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Exercício 1.1 — 1.1. Seja a o plano perpendicular à reta BE e que passa no ponto de coordenadas , , 1 0 1 ^ h Qual das equações seguintes é uma equação do plano a ? (A) x y z 6 2 0 (B) x y z 6 2 3 0 (C) x y z 6 2 1 0 (D) x y z 2 4 5 0

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2021

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Exercício 5.2

1.ª fase 2020Resposta aberta

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Exercício 5.2 — 5.2. Seja P o ponto de coordenadas , , 3 5 6 ] g Determine as coordenadas do ponto do plano ABC que se encontra mais próximo do ponto P

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2020

Exercício 1.1

2.ª fase 2020Resposta aberta

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Exercício 1.1 — 1.1. Determine uma equação do plano EFG Apresente essa equação na forma ax by cz d 0 x Figura 1

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2020

Exercício 1.2

Época especial 2020Resposta aberta

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Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2020

Exercício 1.2

1.ª fase 2019Resposta aberta

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Exercício 1.2 — 1.2. Determine uma equação do plano que contém a base da pirâmide. Apresente essa equação na forma ax by cz d 0 g

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2019

Exercício 9.1

1.ª fase 2019Escolha múltipla

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Exercício 9.1 — 9.1. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os planos , e a b c , definidos pelas equações x y z 1 , e x y z x y 2 2 2 1 0 , respetivamente. A intersecção dos planos , e a b c é (A) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C)…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2019

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Exercício 1.1

2.ª fase 2019Resposta aberta

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Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2019

Exercício 1.2

2.ª fase 2019Resposta aberta

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Exercício 1.2 — 1.2. Seja P o ponto de coordenadas , , 1 4 3 − ^ h, e seja r a reta que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano ABC Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano ABC

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2019

Exercício 11.1

2.ª fase 2019Escolha múltipla

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Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2019

Exercício 1.1

Época especial 2019Resposta aberta

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Exercício 1.1 — 1.1. Seja A o ponto da reta r cuja ordenada é igual a 4 Determine uma equação do plano que é paralelo ao plano a e que passa pelo ponto A Apresente essa equação na forma ax by cz d 0

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2019

Exercício 1.2

Época especial 2019Resposta aberta

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Exercício 1.2 — 1.2. Seja P o ponto de intersecção da reta r com o plano a Determine as coordenadas do ponto P

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2019

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Exercício 9.1

Época especial 2019Escolha múltipla

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Exercício 9.1 — 9.1. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r, definida por x y z 1 3 / Qual das equações seguintes define um plano perpendicular à reta r ? (A) x y 5 (B) x y 5 (C) x y z 3 5 (D) x y z 3 5 PMC2015

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2019

Exercício 2.2

1.ª fase 2018Resposta aberta

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Exercício 2.2 — 2.2. Sabe-se ainda que: • o plano PQR tem equação x y z 2 3 15 0 + − − = • uma das arestas laterais do prisma é o segmento de reta PS 6 @, em que S é o ponto de coordenadas , , 14 5 0 ^ h Determine a área lateral do…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2018

Exercício 8.1

1.ª fase 2018Escolha múltipla

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Exercício 8.1 — 8.1. Considere, num referencial o.n. Oxyz, a reta r definida pela condição x y z 2 1 1 2 3 / + = − − = Qual das seguintes equações vetoriais define a reta r ? (A) , , , , , , x y z k 3 0 3 2 1 0 = + − ^ ^ ^ h h h , k R…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2018

Exercício 4.1

2.ª fase 2018Resposta aberta

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Exercício 4.1 — 4.1. Seja P o ponto da superfície esférica de abcissa 1, ordenada 3 e cota negativa. Seja r a reta de equação vetorial , , , , , , x y z k 1 0 3 4 1 2 = − + − ^ ^ ^ h h h, k R d Determine uma equação do plano que passa…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2018

Exercício 12.1

2.ª fase 2018Escolha múltipla

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Exercício 12.1 — 12.1. Considere, num referencial o.n. Oxyz, os planos a, b e c definidos pelas equações y x = −, y z = e x y z 2 3 1 0 + − −= , respetivamente. A intersecção dos planos a, b e c é (A) um ponto. (B) uma reta. (C) um…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2018

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Exercício 10.1

Época especial 2018Escolha múltipla

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Exercício 10.1 — 10.1. Considere, num referencial o.n. Oxyz, • a reta r, definida pela condição x y z 2 1 5 3 3 − = − = • o plano a, definido pela equação x z 3 2 3 0 − − = Qual é a posição relativa da reta r e do plano a ? (A) r é…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2018

Exercício Grupo II · 2.3

1.ª fase 2017Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 2.3 — 2.3. Uma equação do plano PQV é x y 2 + = Determine uma condição cartesiana que defina a reta TQ

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2017

Exercício Grupo II · 2.1

2.ª fase 2017Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 2.1 — 2.1. Verifique que o vértice A tem abcissa igual a 2 x Figura 3

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2017

Exercício Grupo II · 2.2

2.ª fase 2017Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 2.2 — 2.2. Seja r a reta definida pela condição x y z 1 1 −= − = Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano ACG

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2017

Exercício Grupo II · 5.1

Época especial 2017Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 5.1 — 5.1. Determine a área da secção produzida no cilindro pelo plano de equação x 1 = Figura 3 A O B x y

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2017

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Exercício Grupo II · 5.2

Época especial 2017Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 5.2 — 5.2. Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta BC com o plano xOz

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2017

Exercício Grupo II · 5.3

Época especial 2017Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 5.3 — 5.3. Seja a o plano que passa no ponto A e que é perpendicular à reta r definida pela condição x y z 1 = = − . Seja P o ponto desse plano de abcissa e ordenada iguais a 2 Determine a amplitude do ângulo POC Apresente o…

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2017

Exercício Grupo II · 3.3

1.ª fase 2016Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 3.3 — 3.3. Seja a o plano perpendicular à reta AC e que passa no ponto , , P 1 2 1 − − ^ h A intersecção dos planos a e BCV é uma reta. Escreva uma equação vetorial dessa reta.

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2016

Exercício Grupo II · 3.1

2.ª fase 2016Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 3.1 — 3.1. Seja C o ponto de coordenadas , , 2 1 4 ` j Escreva uma equação vetorial da reta perpendicular ao plano a que passa no ponto C

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2016

Exercício Grupo II · 3.2

2.ª fase 2016Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 3.2 — 3.2. Seja D o ponto de coordenadas , , 4 2 2 ` j Determine as coordenadas do ponto de intersecção da reta OD com o plano a

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2016

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Exercício Grupo II · 3.1

Época especial 2016Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 3.1 — 3.1. Determine uma equação do plano paralelo ao plano OFB que passa no ponto D y A x O

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2016

Exercício Grupo II · 3.2

Época especial 2016Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2016

Exercício Grupo II · 5.1

1.ª fase 2015Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 5.1 — 5.1. Considere o plano a de equação x y z 2 3 0 − + + = Escreva uma equação do plano que passa no ponto A e é paralelo ao plano a

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2015

Exercício Grupo II · 6.2

2.ª fase 2015Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 6.2 — 6.2. Escreva uma equação cartesiana do plano que passa no ponto P e é perpendicular à reta OR

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2015

Exercício Grupo II · 2.1

Época especial 2015Resposta aberta

Ver o enunciado comum

Exercício Grupo II · 2.1 — 2.1. Considere o ponto , , P a 2 1 3 - ^ h, sendo a um certo número real. Sabe-se que a reta OP é perpendicular ao plano b, sendo O a origem do referencial. Determine o valor de a

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2015

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Exercício Grupo II · 2.3

Época especial 2015Resposta aberta

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Exercício Grupo II · 2.3 — 2.3. Determine uma equação da superfície esférica de centro na origem do referencial, que é tangente ao plano b Na resolução deste item, tenha em conta que o raio relativo ao ponto de tangência é perpendicular ao plano b

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2015

Exercício Grupo I · 6

1.ª fase 2014Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 1.ª fase, 2014

Exercício Grupo I · 7

2.ª fase 2014Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, 2.ª fase, 2014

Exercício Grupo I · 7

Época especial 2014Escolha múltipla

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2014

Exercício Grupo II · 4

Época especial 2014Resposta aberta

Fonte: IAVE/EduQA — prova 635, Época especial, 2014

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